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TESINA ESAME DI STATO 2009/10

 

Alunno : Capasso Domenico

 

"Sviluppo ed innovazioni tecnologiche : dalla seconda rivoluzione industriale ai giorni nostri"

 

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MATEMATICA



Le funzioni a due variabili e le equazioni differenziali






  Le funzioni a due variabili

  Le equazioni differenziali




Le funzioni a due variabili

Definizione di funzione a due variabili
Il concetto di “funzione reale di due variabili reali” è la naturale estensione del concetto di funzione reali di variabile reale. Si può quindi formulare la seguente definizione :

Una “funzione reale di due variabili reali” è una corrispondenza che associa ad ogni coppia di numeri reali (x ; y), una ed una sola variabile z. Per indicare quindi che una data funzione f associa alla coppia (x ; y) il valore z, si potrà scrivere come



o anche come



Da questa formula si possono ricavare sia la forma “esplicita” che quella “implicita” della funzione, che sono rispettivamente



Il numero reale z si dice “immagine” della coppia (x ; y), mentre la coppia formata dalle sue coordinate cartesiane si dice “controimmagine” del valore z.

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Dominio e codominio
Il “dominio” D di una funzione f di due variabili reali è l’insieme di tutte le coppie ordinate (x ; y) per le quali è possibile determinare il valore di f(x ; y), ovvero il valore della variabile z.

Il dominio di una funzione di due variabili è quindi rappresentato graficamente da un sottoinsieme del piano cartesiano.

Il “codominio” della funzione f, invece, è l’insieme dei valori che assume la variabile z cha hanno almeno una controimmagine (x ; y) ∈ D.

La ricerca del dominio di una funzione di due variabili si riconduce spesso alla risoluzione di equazioni, disequazioni o sistemi in due variabili; è opportuno perciò rappresentare tale dominio come sottoinsieme del piano cartesiano. Come per le funzioni di una variabile, la determinazione del codominio di una funzione di due variabili è spesso problematica. Pertanto, salvi casi particolari, non è richiesta la ricerca ed il calcolo del codominio.

Per determinare il dominio di una funzione a due variabili, bisogna per prima cosa porre le condizioni di esistenza della funzione considerata; dopodiché, rendere la disequazione una “equazione associata”, sostituendo al segno di maggioranza o minoranza il segno di uguaglianza. Così facendo, si ottiene la “frontiera” della funzione. Disegnata ora sul grafico cartesiano la frontiera, verificare per quali punti (x ; y) si verifica la disequazione, sostituendo appunto nella disequazione un punto (x ; y) a scelta, e se questo punto verifica la disequazione, tutti i punti di quella parte di piano verificano la disequazione e quindi appartengono al dominio. Se invece il punto (x ; y) scelto non verifica la disequazione, tutti i punti appartenenti a quella parte di piano non verificano la disequazione e di conseguenza non appartengono al dominio.

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Grafico di una funzione a due variabili
Il grafico di una funzione di una variabile è, com’è noto, l’insieme dei punti del piano cartesiano tra le cui ordinate (x ; y) vi è la relazione y = f(x).

Non è difficile definire ora in modo analogo il grafico di una funzione di due variabili: definita f(x ; y) una funzione di due variabili, il grafico di questa funzione è una superficie nello spazio costituita dai punti P(xo ; yo ; zo), e zo = f(xo ; yo), che è l’immagine.

Si passa quindi da una figura bidimensionale di una funzione di una variabile ad una figura tridimensionale, con l’aggiunta di una nuova variabile z.

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Derivata di una funzione a due variabili
Per calcolare la derivata di una funzione a due variabili, mediante il limite del rapporto incrementale, non si possono incrementare tutte e due le variabili contemporaneamente, bensì una per volta: si incrementa quindi una e si lascia fissa l’altra. Così facendo si ottengono due derivate, dette “derivate parziali”, che sono:



aventi rispettivamente risultati uguali a f'x (xo, yo) ed f'y (xo, yo).

Le regole di derivazione usate per risolvere le funzioni ad una variabile, valgono anche per le funzioni a due variabili perché, quando si calcola la derivata parziale, una variabile rimane costante ed una si comporta appunto da variabile.

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Massimi e minimi di una funzione a due variabili
Per trovare i massimi e i minimi di una funzione a due variabili (x ; y), si calcolano per prima cosa i “punti stazionari” della funzione, ovvero i punti in cui la derivata si annulla; per calcolare questi punti, si calcola il sistema delle due derivate parziali rispetto ad x e rispetto ad y e si uguagliano a 0. In questo modo si ricavano i punti stazionari (x ; y), che saranno poi utilizzati in seguito.

Si passa ora al calcolo della “matrice hessiana” della funzione, ovvero la matrice quadrata n × n delle derivate parziali seconde della funzione; si calcolano quindi le derivate parziali seconde, ovvero le derivate parziali delle derivate parziali, e si mettono in ordine nella matrice hessiana, nel seguente modo:



Il risultato ora dell’hessiano (f''xx f''yy) – (f''xy f''yx) avrà come totale una funzione, alla quale si andranno a sostituire i punti stazionari calcolati prima, e si otterrà così come risultato un numero che potrà essere maggiore, uguale o minore di zero:



Se questo numero H(xo ; yo) è:

> 0 ed f''xx(x ; y) < 0, il punto P(xo, yo, xo) sarà un “punto di massimo” MAX, ovvero un punto in cui la funzione si trova sempre al di sotto;

> 0 ed fIIxx(x ; y) > 0, il punto P(xo, yo, xo) sarà un “punto di minimo” MIN, ovvero un punto in cui la funzione si trova sempre al di sopra;

< 0, il punto P(xo, yo, xo) sarà un “punto di sella”, ovvero un punto intorno al quale la funzione può stare sia al di sopra che al di sotto;

= 0, infine, il punto P(xo, yo, xo) risulta un punto indeterminato.

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Grafico sezione e linea di livello
Per rappresentare il grafico di una funzione a due variabili, possiamo “selezionare” la superficie di piano che costituisce tale grafico con dei piani paralleli ai piani coordinati xz o yz. Si determinano così, su questi “piani sezione”, delle curve, che ne costituiscono l’intersezione con la superficie di equazione z = f(x ; y).

Com’è noto, un piano parallelo al piano coordinato xz avrà equazione y = k, essendo k una costante; allo stesso modo l’equazione x = k definisce un piano parallelo al piano coordinato yz.

Si può allora dire che il “grafico sezione” è una linea ottenuta dall’intersezione del grafico di una funzione con un piano parallelo ai piani di coordinate xz ed yz.

Le “linee di livello” o “curve di livello” di una funzione a due variabili si ottengono sezionandone il grafico con i piani paralleli al piano xy;

ciascuno di tali piani è il luogo geometrico dei punto dello spazio aventi quota uguale ad una costante k, e può perciò essere scritta sottoforma di equazione come z = k. Una curva di livello è perciò costituita dall’insieme dei punti del grafico della funzione aventi tutti la stessa quota, uguale ad una prefissata costante k. Se l’equazione della funzione è



le coordinate dei punti della curva di livello k sono caratterizzate dalle relazioni



Concludendo, si può quindi dire che la linea di livello è quella linea ottenuta dall’intersezione del grafico della funzione con un piano parallelo al piano xy.
 


 


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Le equazioni differenziali

Definizione di equazione differenziale
Si dice “equazione differenziale” una relazione tra la variabile indipendente x, una funzione incognita y e la sua derivata prima y'. Vi sono diversi tipi di equazioni differenziali, che si differiscono fra di loro a seconda del loro “ordine”; l’ordine di una equazione differenziale è stabilito dal grado delle derivate della funzione y, e la sua soluzione è appunto la funzione y.

L’equazione del tipo



si dice “equazione differenziale del primo ordine”, mentre l’equazione del tipo



Si dice “equazione differenziale del secondo ordine”.

In generale si può dire che una relazione tra la variabile indipendente x, una funzione incognita y e le sue derivate successive fino a quella di ordine n, del tipo



viene detta “equazione differenziale dell’n-esimo ordine”, o di ordine n.

La soluzione si chiama “integrale generale” o “soluzione generale” quando vi è la costante k; se alla costante k viene assegnato un particolare valore, la soluzione si chiama “integrale particolare”.

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Equazioni differenziali del primo ordine: immediate, a variabili separabili e lineari
Le equazioni differenziali più semplici, dette “immediate”, sono quelle del tipo



dove per trovare la soluzione y bisogna calcolare l’integrale della funzione f(x).

Le equazioni, poi, dette “a variabili separabili”, sono quelle in cui per calcolare la soluzione si può porre



Per trovare la soluzione, si sostituisce quindi ad y' il rapporto fra dy e dx; dopodiché, si prosegue portando da un lato del segno “=” tutti i termini con la x ed all’altro lato tutti i termini con la y; una volta ordinata l’equazione, si fanno i due integrali, ovvero quello a destra dell’uguale e quello a sinistra dell’uguale, e quindi l’integrale rispetto ad x e l’integrale rispetto ad y. Una volta calcolati i due integrali si può risalire al risultato, ovvero alla funzione y = f(x).

Vi sono poi le “equazioni lineari” del primo ordine, che sono quelle del tipo



dove a(x) e b(x) sono funzioni continue in un opportuno intervallo. Ponendo b(x)= 0, risulterebbe un’equazione a variabile separabili, che si può facilmente risolvere ponendo y' come il rapporto fra dy e dx. Diventa così



Detta A(x) una primitiva qualsiasi della funzione a(x) e c una costante arbitraria, si ottiene, dopo il calcolo degli integrali



Dato che c è una costante arbitraria, ±ec risulta un numero reale diverso da zero e quindi l’ultima equazione scritta diventa y = ± keA(x) con k ? 0.

Applicando ora il metodo di Lagrange, o metodo della variazione della costante arbitraria, che consiste nel rendere la costante k una funzione, si ottiene y = k(x)eA(x) e ricordando che A(x) è primitiva di a(x), ovvero A'(x) = a(x), si ricava



Sostituendo poi nella prima espressione, ovvero y' = a(x)y + b(x), le espressioni di y ed y', che sono rispettivamente k(x)eA(x) e k'(x)eA(x) + a(x)y, si ottiene



Quindi per calcolare k(x) bisogna fare l’integrale di b(x)e-A(x), dato che k'(x) è una primitiva di b(x)e-A(x), e allora si avrà



e siccome y = k(x)eA(x) e k(x) = yeA(x), la formula k(x) = ∫ b(x) e-A(x)dx diventa



Riassumendo:



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Equazioni differenziali del secondo ordine: lineari a coefficienti costanti omogeneo
Le equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti costanti omogeneo sono quelle del tipo



Per determinare l’integrale generale di tale equazione si deve innanzitutto risolvere, rispetto all’incognita ausiliaria k, l’equazione “caratteristica”, ossia



Questa è un’equazione algebrica di secondo grado, il cui discriminante è Δ = a2 – 4b; tale equazione si ottiene dalla prima sostituendo alla funzione y un’incognita k con esponente uguale all’ordine di derivazione. Si distinguono tre casi, che andremo a descrivere dopo aver indicato con c1 e c2 le due costanti arbitrarie.

1° caso :Δ > 0

L’equazione ha come soluzione due radici reali e distinte; siano k1 e k2 tali radici, il risultato dell’integrale generale sarà



2° caso : Δ = 0

In questo caso le radici sono coincidenti: k1 = k2 = -a/2. Posto -a/2 = k, l’integrale generale dell’equazione sarà



3° caso : Δ < 0

In questo caso l’integrale ha come soluzioni due radici complesse coniugate α ± jβ, con α = -a/2, e β = √Δ / 2. L’integrale generale dell’equazione sarà quindi



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Equazioni differenziali del secondo ordine: linea a coefficienti costanti completo
Le equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti costanti completo, invece, sono quelle del tipo



dove p(x) è una funzione continua, non nulla, in un opportuno intervallo. Chiameremo equazione “associata” alla prima l’equazione



ottenuta dalla prima ponendo uguale a zero il secondo membro; l’equazione passa così da completa ad omogenea. Calcolata poi la soluzione dell’equazione omogenea, si ottiene che y = SOLUZIONE OMOGENEA + q(x), dove q(x) rappresenta un polinomio che verrà poi calcolato. Il grado di q(x), indicato con la lettera m, dipende dal grado di p(x), indicato con la lettera n e dai coefficienti a e b dell’equazione; infatti



Trovato il grado m di g(x), bisognerà trovare le funzioni q(x), q'(x) e q''(x); ad esempio, sia il grado della funzione q(x) uguale a 2, e quindi m = 2, la funzione sarà



e le sue derivate, prima e seconda, saranno rispettivamente



Infine, bisogna sostituire ad y'' e ad y' della funzione iniziale, le due derivate appena calcolate, ovvero q''x ed qìx; si otterrà così l’equazione finale, che nel caso analizzato, ovvero nel caso di m = 2, sarà



Trovata l’equazione, bisogna calcolare ora i coefficienti a e b mediante un sistema, che verranno poi sostituiti nella funzione q(x) della “soluzione omogenea”; sostituendo poi la funzione q(x) con i risultati dei coefficienti, si ottiene la soluzione finale, detta “soluzione completa”.

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